Teoria degli insiemi - Introduzione

Introduzione

Un insieme è una collezione di oggetti considerata come entità singola: i termini "squadra di calcio", "numeri interi", "abitanti di Roma", etc. sono esempi di insiemi.

I singoli oggetti di queste "collettività" sono detti elementi dell'insieme.

Giusto per entrare nella terminologia si usa dire:

• il calciatore x1 appartiene alla squadra A.
• la squadra A contiene i calciatori x1, x2, ..., xn

dove i calciatori sono elementi dell'insieme squadra.

Notazioni

Gli insiemi sono in genere indicati con lettere maiuscole: A, B, C, ..., X, Y, Z.

Gli elementi, invece, sono indicati con lettere minuscole: a, b, c, ..., x, y, z.

Per dire che un elemento x appartiene all'insieme A si usa la notazione:

$\huge{x\in A}$

Di contro per dire che un elemento x non appartiene all'insieme A si usa la notazione:

$\huge{x\notin A}$

Per rappresentare gli insiemi possiamo usare la notazione elencativa che consiste nell'elencare tra parentesi graffe, separandoli con una virgola, tutti gli elementi dell'insieme:

$\huge{A=\{a, b, c, d, e\}}$

questa notazione può essere comoda nel caso di pochi elementi, ma diventa scomoda o impraticabile con molti o infiniti elementi. In tal caso possiamo abbreviare la notazione indicando le condizioni che devono essere soddisfatte affinchè un elemento possa appartenere all'insieme:

$\huge{A=\{ x | x soddisfa P\}}$

intendendo: "l'insieme A è costituito da tutti gli x tali che x soddisfi la condizione P", dove il simbolo | sta per "tali che"

Un insieme che non contiene elementi è detto insieme vuoto. Per dire che l'insieme A è un insieme vuoto si usa la notazione:

$\huge{A=\emptyset}$

che è differente da:

$\huge{A=\{\emptyset\}}$

in un caso diciamo che l'insieme A è vuoto, nell'altro diciamo che A è un insieme che contiene l'elemento vuoto: è come dire una scatola vuota e una scatola che contiene una scatola vuota.

Sottoinsiemi

A partire da un insieme S, possiamo creare nuovi insiemi prendendo tutti o parte degli elementi dell'insieme di partenza (S). Ad esempio: l'insieme di partenza S può contenere i primi 10 numeri interi maggiori di 0:

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ o con notazione abbreviata $S=\{x\in Z | x > 0 e x <= 10\}$

dall'insieme S possiamo formare l'insieme A costituito dai soli numeri pari:

$A=\{2,4,6,8,10\}$ o con notazione abbreviata $A=\{x\in S|x mod 2=0\}$

I nuovi insiemi creati sono detti sottoinsiemi. Occorrerà anche specificare da quale insieme sono stati formati o di quale insieme sono sottoinsiemi, quindi possiamo dire più precisamente che: A è sottoinsieme di S.

Detto questo possiamo definire un sottoinsieme in questo modo:

DEFINIZIONE DI SOTTOINSIEME: un insieme A è sottoinsieme di B quando ogni elemento di A appartiene anche a B.

Si dice anche che A è incluso in B, indicandolo con:

$\huge{A\subseteq B}$

oppure anche che B contiene A e si indica con:

$\huge{B\supseteq A}$

È bene precisare che dalla definizione non si fa riferimento all'origine del sottoinsieme A (da cosa è stato creato, es. B). Quindi, generalizzando, un insieme A può essere sottoinsieme di B anche se non è creato da questo, ma solo e semplicemente perchè tutti gli elementi di A appartengono anche a B.

Uguaglianza

Operazioni su insiemi: unione, intersezione, sottrazione, complemento

Sistemi di numerazione

Il modo con cui indichiamo quantità numeriche è detto sistema di numerazione decimale.
Ciò viene fatto rappresentando la quantità numerica per mezzo di 10 simboli (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) che assumono significato in base alla posizione in cui si trovano (sistema di numerazione posizionale).
Ad esempio se pensiamo al numero 123 ciò che visualizziamo mentalmente in realtà è:

$1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 = 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1 = 100 + 20 + 3 = 123$

che sono 1 centinaio, 2 decine e 3 unità
Nel sistema di numerazione posizionale la posizione dei simboli assume il significato descritto di seguito:

• se ci spostiamo a sinistra, i numeri hanno un'elevazione a potenza di 10 crescente
• se ci spostiamo a destra si ha una potenza di 10 decrescente.

In altri termini: non avendo a disposizione infiniti simboli per rappresentare infinite quantità differenti si tende a raggruppare per potenze del numero di simboli disponibili.
Con 10 simboli possiamo indicare assenza di unità, 1 unità, 2 unità ..., 9 unità. Ma non si ha un simbolo per rappresentarne 10.
La soluzione è quindi raggruppare i 10 non rappresentabili in 1 gruppo ed indicarlo sempre con i simboli disponibili ma spostato di una posizione più a sinistra.
10 è quindi da intendersi come: 1 gruppo di 10 + 0 elementi.

Esempi

33 elementi: raggruppiamo le unità in 3 gruppi da 10 + 3 elementi
99 elementi: 9 gruppi da 10 + 9.
111 elementi: 11 gruppi da 10 + 1 elemento non è possibile perchè non abbiamo alcun simbolo per rappresentare l' 11. Soluzione: stesso trucco, raggruppiamo gli 11 in 1 gruppo di 10 gruppi di 10 elementi, al quale aggiungiamo 1 gruppi di 10 elementi, al quale aggiungiamo 1 elemento. Quindi il gruppo di 10 gruppi di 10 elementi sarà indicato di una posizione ancora più a sinistra dando quindi: 111 dove:

• il primo 1 indica 1 gruppo di 10 gruppi di 10 elementi
• il secondo 1 indica 1 gruppo di 10 elementi
• il terzo 1 indica 1 elemento

Rappresentazione di numeri decimali

Estendendo il discorso con il numero decimale 123,45 in realtà si intende:

1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 + 4 * 10^-1 + 5 * 10^-2 = 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1 + 4 * 0,1 + 5 * 0,01 = 100 + 20 + 3 + 0,4 + 0,05 = 123,45

Altri sistemi di numerazione e sistema di numerazione binario

Il sistema di numerazione decimale non è l'unico possibile. Siamo liberi di rappresentare quantità con il numero di simboli che vogliamo. Questo numero sarà quindi la nuova base del nostro elevamento a potenza (che usiamo per indicare i raggruppamenti, raggruppamenti di raggruppamenti, ... e così via).
Ad esempio possiamo inventarci un sistema che abbia solo 2 simboli: 0 e 1. In tal caso il numero 101 è da interpretarsi in questo modo:

1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 4 +0 * 2 + 1 * 1 = 4 + 0 + 1 = 5

Il sistema a soli 2 simboli è detto sistema di numerazione binario ed è utilizzato praticamente da tutti gli elaboratori esistenti: rappresenta 2 livelli di tensione es. 0V e 5V .
Un altro sistema in uso e' il sistema di numerazione esadecimale. Questo sistema utilizza 16 simboli che sono 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f .
Dove ad es. 5 rappresenta 5 unità, a rappresenta 10 unità, f rappresenta 15 unità.
Per rappresentare 16 unità si scriverà 10 : 1 gruppo di 16 elementi (i simboli sono 16 incluso lo 0 quindi non abbiamo simbolo per rappresentare il 16) + 0 elementi .
Ultimo esempio:

1FA = 1 * 16^2 + 15 * 16 ^ 1 + 10 * 16^0 = 256 + 240 + 10 = 506

Come convertire una rappresentazione da sistema decimale ad altro sistema numerico

Partiamo dall'ultimo esempio per il quale abbiamo visto che 1FA in rappresentazione esadecimale è 506 in rappresentazione decimale e vediamo di fare il procedimento inverso: partiamo da 506 e dobbiamo arrivare a 1FA.

Abbiamo detto che il sistema esadecimale utilizza 16 simboli e dove abbiamo una quantità che non è rappresentabile con un simbolo si raggruppa.

506 non ha un simbolo che lo rappresenti. Proviamo a vedere quanti gruppi di 16 abbiamo: 506/16 = 31 gruppi da 16 + 10 unità . 31 non è rappresentabile quindi procediamo ricorsivamente a raggruppare gruppi di 16: 31/16 = 1 gruppo di 16 gruppi di 16 unità + 15 gruppi da 16 unità + 10 unità.

Abbiamo quindi:

• 1 gruppi di 16 gruppi di 16 unità rappresentabile in esadecimale con il simbolo 1
• 15 gruppo di 16 unità rappresentabile in esadecimale con il simbolo F
• 10 unità rappresentabili in esadecimale con il simbolo A

Partendo quindi dal raggruppamento più grande abbiamo 1FA.