Teoria degli insiemi - Introduzione

Introduzione

Un insieme è una collezione di oggetti considerata come entità singola: i termini "squadra di calcio", "numeri interi", "abitanti di Roma", etc. sono esempi di insiemi.

I singoli oggetti di queste "collettività" sono detti elementi dell'insieme.

Giusto per entrare nella terminologia si usa dire:

il calciatore x1 appartiene alla squadra A.
la squadra A contiene i calciatori x1, x2, ..., xn

dove i calciatori sono elementi dell'insieme squadra.

Notazioni

Gli insiemi sono in genere indicati con lettere maiuscole: A, B, C, ..., X, Y, Z.

Gli elementi, invece, sono indicati con lettere minuscole: a, b, c, ..., x, y, z.

Per dire che un elemento x appartiene all'insieme A si usa la notazione:

$\huge{x\in A}$

Di contro per dire che un elemento x non appartiene all'insieme A si usa la notazione:

$\huge{x\notin A}$

Per rappresentare gli insiemi possiamo usare la notazione elencativa che consiste nell'elencare tra parentesi graffe, separandoli con una virgola, tutti gli elementi dell'insieme:

$\huge{A=\{a, b, c, d, e\}}$

questa notazione può essere comoda nel caso di pochi elementi, ma diventa scomoda o impraticabile con molti o infiniti elementi. In tal caso possiamo abbreviare la notazione indicando le condizioni che devono essere soddisfatte affinchè un elemento possa appartenere all'insieme:

$\huge{A=\{ x | x soddisfa P\}}$

intendendo: "l'insieme A è costituito da tutti gli x tali che x soddisfi la condizione P", dove il simbolo | sta per "tali che"

Un insieme che non contiene elementi è detto insieme vuoto. Per dire che l'insieme A è un insieme vuoto si usa la notazione:

$\huge{A=\emptyset}$

che è differente da:

$\huge{A=\{\emptyset\}}$

in un caso diciamo che l'insieme A è vuoto, nell'altro diciamo che A è un insieme che contiene l'elemento vuoto: è come dire una scatola vuota e una scatola che contiene una scatola vuota.

Sottoinsiemi

A partire da un insieme S, possiamo creare nuovi insiemi prendendo tutti o parte degli elementi dell'insieme di partenza (S). Ad esempio: l'insieme di partenza S può contenere i primi 10 numeri interi maggiori di 0:

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ o con notazione abbreviata $S=\{x\in Z | x > 0 e x <= 10\}$

dall'insieme S possiamo formare l'insieme A costituito dai soli numeri pari:

$A=\{2,4,6,8,10\}$ o con notazione abbreviata $A=\{x\in S|x mod 2=0\}$

I nuovi insiemi creati sono detti sottoinsiemi. Occorrerà anche specificare da quale insieme sono stati formati o di quale insieme sono sottoinsiemi, quindi possiamo dire più precisamente che: A è sottoinsieme di S.

Detto questo possiamo definire un sottoinsieme in questo modo:

DEFINIZIONE DI SOTTOINSIEME: un insieme A è sottoinsieme di B quando ogni elemento di A appartiene anche a B.

Si dice anche che A è incluso in B, indicandolo con:

$\huge{A\subseteq B}$

oppure anche che B contiene A e si indica con:

$\huge{B\supseteq A}$

È bene precisare che dalla definizione non si fa riferimento all'origine del sottoinsieme A (da cosa è stato creato, es. B). Quindi, generalizzando, un insieme A può essere sottoinsieme di B anche se non è creato da questo, ma solo e semplicemente perchè tutti gli elementi di A appartengono anche a B.