Sistemi di numerazione

Il modo con cui indichiamo quantità numeriche è detto sistema di numerazione decimale.
Ciò viene fatto rappresentando la quantità numerica per mezzo di 10 simboli (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) che assumono significato in base alla posizione in cui si trovano (sistema di numerazione posizionale).
Ad esempio se pensiamo al numero 123 ciò che visualizziamo mentalmente in realtà è:

$1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 = 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1 = 100 + 20 + 3 = 123$

che sono 1 centinaio, 2 decine e 3 unità
Nel sistema di numerazione posizionale la posizione dei simboli assume il significato descritto di seguito:

• se ci spostiamo a sinistra, i numeri hanno un'elevazione a potenza di 10 crescente
• se ci spostiamo a destra si ha una potenza di 10 decrescente.

In altri termini: non avendo a disposizione infiniti simboli per rappresentare infinite quantità differenti si tende a raggruppare per potenze del numero di simboli disponibili.
Con 10 simboli possiamo indicare assenza di unità, 1 unità, 2 unità ..., 9 unità. Ma non si ha un simbolo per rappresentarne 10.
La soluzione è quindi raggruppare i 10 non rappresentabili in 1 gruppo ed indicarlo sempre con i simboli disponibili ma spostato di una posizione più a sinistra.
10 è quindi da intendersi come: 1 gruppo di 10 + 0 elementi.

Esempi

33 elementi: raggruppiamo le unità in 3 gruppi da 10 + 3 elementi
99 elementi: 9 gruppi da 10 + 9.
111 elementi: 11 gruppi da 10 + 1 elemento non è possibile perchè non abbiamo alcun simbolo per rappresentare l' 11. Soluzione: stesso trucco, raggruppiamo gli 11 in 1 gruppo di 10 gruppi di 10 elementi, al quale aggiungiamo 1 gruppi di 10 elementi, al quale aggiungiamo 1 elemento. Quindi il gruppo di 10 gruppi di 10 elementi sarà indicato di una posizione ancora più a sinistra dando quindi: 111 dove:

• il primo 1 indica 1 gruppo di 10 gruppi di 10 elementi
• il secondo 1 indica 1 gruppo di 10 elementi
• il terzo 1 indica 1 elemento

Rappresentazione di numeri decimali

Estendendo il discorso con il numero decimale 123,45 in realtà si intende:

1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 + 4 * 10^-1 + 5 * 10^-2 = 1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1 + 4 * 0,1 + 5 * 0,01 = 100 + 20 + 3 + 0,4 + 0,05 = 123,45

Altri sistemi di numerazione e sistema di numerazione binario

Il sistema di numerazione decimale non è l'unico possibile. Siamo liberi di rappresentare quantità con il numero di simboli che vogliamo. Questo numero sarà quindi la nuova base del nostro elevamento a potenza (che usiamo per indicare i raggruppamenti, raggruppamenti di raggruppamenti, ... e così via).
Ad esempio possiamo inventarci un sistema che abbia solo 2 simboli: 0 e 1. In tal caso il numero 101 è da interpretarsi in questo modo:

1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 4 +0 * 2 + 1 * 1 = 4 + 0 + 1 = 5

Il sistema a soli 2 simboli è detto sistema di numerazione binario ed è utilizzato praticamente da tutti gli elaboratori esistenti: rappresenta 2 livelli di tensione es. 0V e 5V .
Un altro sistema in uso e' il sistema di numerazione esadecimale. Questo sistema utilizza 16 simboli che sono 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f .
Dove ad es. 5 rappresenta 5 unità, a rappresenta 10 unità, f rappresenta 15 unità.
Per rappresentare 16 unità si scriverà 10 : 1 gruppo di 16 elementi (i simboli sono 16 incluso lo 0 quindi non abbiamo simbolo per rappresentare il 16) + 0 elementi .
Ultimo esempio:

1FA = 1 * 16^2 + 15 * 16 ^ 1 + 10 * 16^0 = 256 + 240 + 10 = 506

Come convertire una rappresentazione da sistema decimale ad altro sistema numerico

Partiamo dall'ultimo esempio per il quale abbiamo visto che 1FA in rappresentazione esadecimale è 506 in rappresentazione decimale e vediamo di fare il procedimento inverso: partiamo da 506 e dobbiamo arrivare a 1FA.

Abbiamo detto che il sistema esadecimale utilizza 16 simboli e dove abbiamo una quantità che non è rappresentabile con un simbolo si raggruppa.

506 non ha un simbolo che lo rappresenti. Proviamo a vedere quanti gruppi di 16 abbiamo: 506/16 = 31 gruppi da 16 + 10 unità . 31 non è rappresentabile quindi procediamo ricorsivamente a raggruppare gruppi di 16: 31/16 = 1 gruppo di 16 gruppi di 16 unità + 15 gruppi da 16 unità + 10 unità.

Abbiamo quindi:

• 1 gruppi di 16 gruppi di 16 unità rappresentabile in esadecimale con il simbolo 1
• 15 gruppo di 16 unità rappresentabile in esadecimale con il simbolo F
• 10 unità rappresentabili in esadecimale con il simbolo A

Partendo quindi dal raggruppamento più grande abbiamo 1FA.