Probabilità / Introduzione

Requisiti

Potrebbe essere utile la lettura di:

• Teoria degli insiemi - Introduzione

Esperimenti, risultati, spazio di campionamento, funzione di distribuzione

Consideriamo un esperimento casuale, come ad esempio il lancio di un dado.

L'esperimento darà dei risultati: nel caso del dado saranno 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Tutti i possibili risultati di un esperimento sono detti spazio di campionamento e possiamo rappresentarli con l'insieme:

$\huge{\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, ... \omega_n \}}$

Lo spazio di campionamento può avere infiniti elementi/risultati e siamo liberi di scegliere da quali elementi/risultati deve essere composto, purchè si rispettino le 3 regole seguenti:

• non deve accadere che un esperimento restituisca più di un risultato
• non deve accadere che un esperimento restituisca un risultato che non abbiamo compreso nello spazio di campionamento
• praticare una scelta conveniente (vedi esempio)

Ad esempio per il dado potevamo scegliere i risultati "pari" se il numero era pari e "dispari" se il numero era dispari (rispettando le prime due regole riportate sopra). In questo caso però la scelta sarebbe stata sconveniente: questa suddivisione nasconderebbe informazioni ad es. sulla faccia con valore 3.

Ad ogni risultato possiamo assegnare una probabilità attraverso una funzione $m(w_i)$ detta funzione di distribuzione che ha le caratteristiche seguenti:

• $\huge{\sum_{\omega_i\in\Omega}{m(\omega_i)}=1}$
• $\huge{m(\omega_i)>=0}$ per ogni $\omega_i\in\Omega$

Possiamo assegnare la probabilità ad ogni singolo risultato in base ad una conoscenza a priori del comportamento dell'esperimento.

Ad esempio è ragionevole pensare che tutti i risultati del lancio di un dado non truccato siano equiprobabili (non c'è nessun motivo per favorire un risultato rispetto ad un altro). Quindi tutti i possibili risultati avranno lo stesso valore di probabilità c:

$m(\omega_i)=c$ , per ogni $\omega_i\in\Omega$ (spazio di campionamento del dado)

poichè dalla definizione della funzione di distribuzione abbiamo:

$\sum_{\omega_i\in\Omega}{m(w_i)} = 1$

otteniamo (considerando che per il dado possiamo avere solo 6 risultati possibili):

$\sum_{\omega_i\in\Omega}{m(w_i)}=\sum_{\omega_i\in\Omega}{c}=6c=1 => c=\frac{1}{6}$

Supponiamo ora di aver verificato che un particolare medicinale, testato su 100 pazienti abbia funzionato solo su 30.

In tal caso lo spazio di campionamento avrà 2 possibili risultati: ha funzionato, non ha funzionato.

Sulla base di questa conoscenza pregressa, possiamo considerare la funzione di distribuzione come il rapporto tra il numero dei casi di un risultato e il numero dei casi totali.

Avremo quindi: $w_{successo}=\frac{30}{100}=0.3$ , $w_{fallimento}=\frac{70}{100}=0.7$ .

Le caratteristiche della funzione di distribuzione sono rispettate poichè: $w_{successo}+w_{fallimento}=1$ e $w_{successo} >= 0, w_{fallimento}>=0$

Quest'ultimo esempio si basa su concetto di frequenza dei risultati: se ripetiamo un esperimento un numero n sufficientemente grande e conteggiamo il numero di volte che i risultati si sono verificati, indicando con $r(\omega_i)$ il numero di volte in cui il risultato $\omega_i$ si è verificato, allora:

$\huge{\frac{r(\omega_i)}{n}\to{m(\omega_i)}}$

in altri termini:

$\huge{\lim_{n\to\infty}{\frac{r(\omega_i)}{n}}=m(\omega_i)}$

Eventi

Un evento è un qualsiasi sottoinsieme degli elementi dello spazio di campionamento. Tra gli eventi sono compresi anche lo spazio di campionamento e l'insieme vuoto.

La probabilità di un evento $E\subseteq\Omega$ può essere calcolata a partire dalla funzione di distribuzione, sommando le probabilità dei risultati appartenenti all'insieme E:

$\huge{P(E)=\sum_{w\in{E}}{m(w)}}$

L'evento spazio di campionamento avrà $P(\Omega)=\sum_{\omega\in\Omega}{m_{\omega}}=1$, l'insieme vuoto avrà $P(\varnothing)=0$.

Per il dado non truccato un evento potrebbe essere l'uscita di un valore pari: 2, 4, 6.

In questo caso l'evento E sarebbe rappresentato dall'insieme E = {2, 4, 6}.

Poichè la probabilità di ogni singolo risultato è $m(\omega_i)=\frac{1}{6}$, la probabilità dell'evento E sarà:

$P(E)=m(\omega_2)+m(\omega_4)+m(\omega_6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$.

Proprietà degli eventi

Le probabilità assegnate agli eventi attraverso la funzione di distribuzione godono delle proprietà seguenti:

• $P(E)>=0$ per ogni $E\subseteq\Omega$
• $P(\Omega) = 1$
• $E\subset F\subseteq\Omega\rightarrow P(E) <= P(F)$
• Se A e B sono disgiunti (non esistono elementi in comune) allora $P(A \cup B) = P(A)+P(B)$
• $P(A^c)=1-P(A)$ per ogni $A\subseteq\Omega$

Gli eventi possono essere descritti in termini di altri eventi. Poichè gli eventi sono sottoinsiemi dello spazio di campionamento ciò può essere fatto attraverso operazioni su insiemi (unione, intersezione, sottrazione, complemento).

Diagrammi ad albero

Un esperimento può essere effettuato in più fasi: ad esempio 3 lanci di moneta in 3 fasi differenti.

In questi casi è comodo mostrare i risultati attraverso un diagramma ad albero in cui un percorso rappresenta un possibile risultato dell'esperimento (nelle 3 fasi).